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2018年天津高职自主招生数学(文科)模拟试题【含答案】

来源:互联网

时间:2018-08-03

阅读数:596

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2018年天津高职自主招生数学(文科)模拟试题【含答案】 

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)

1.i是虚数单位,则=(  )

a.﹣+i b.i c. +i d. +i

2.方程ex=2﹣x的根位于(  )

a.(﹣1,0) b.(0,1) c.(1,2) d.(2,3)

3.下列说法正确的是(  )

a.命题“∃x0∈r,2>1”的否定是“∀x∈r,2x≤1”

b.命题“若x=y,则x2=y2”的否命题是“若x=y,则x2≠y2”

c.p:∀x∈r,x2+1≥1,q:在△abc中,若sina=,则a=,则p∧q为真命题

d.若平面α⊥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则a⊥b

4.阅读如图的框图,则输出的s=(  )

a.30 b.29 c.55 d.54

5.如图是函数y=asin(ωx+φ)(x∈r)在区间[﹣]上的图象,为了得到这个函数的图象.只需将y=cosx(x∈r)的图象上的所有点(  )

a.向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

b.向左平移个单位长度.再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

c.把所有点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度

d.把所有点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度

6.若实数a,b,c满足2a=,log2b=,lnc=,则(  )

a.a<c<b b.a<b<c c.b<c<a d.c<b<a

7.抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为f,l为c的准线,p∈c.且|pf|=6,过p作l的垂线,垂足为m,若△fmp为正三角形,则p=(  )

a.2 b.3 c.4 d.5

8.函数f(x)=,若f(x)=kx有三个不同的根,则实数k的取值范围是(  )

a.(0,)∪(2﹣2,] b.[0,)∪(2﹣2,] c.[0,]∪(2﹣2,] d.(0,]∪(2﹣2,]

 

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9.某单位生产甲,乙,丙三种不同型号的产品,甲乙丙三种产品数量之比为3:4:5,现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本,则乙种型号的产品数量为     .

10.设集合p={x∈n|x≤8},q={x∈r||x﹣1|≤2},则p∩q=     .

11.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为     .

12.圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2,则实数a=     .

13.已知x>0,y>0,且+=2,则x+y的最小值是     .

14.平行四边形abcd中,|ab|=2,|bc|=,∠dab=60°,= =,则=     .

 

三、解答题(共6小题,满分80分)

15.(13分)在△abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,已知cosa=﹣,b=2,a=3.

(1)求sinb的值;

(2)求sin(2b﹣)的值.

16.(13分)某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料,总费用不超过9万元,此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨,假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

17.(13分)在棱长为2的正三棱柱abc﹣a1b1c1中,d,e分别是bc,bb1的中点.

(1)求证:a1b∥ac1d

(2)求证:ce⊥面ac1d

(3)求二面角c﹣ac1﹣d的正弦值.[来源:]

18.(13分)在公比为m的等比数列{an}中,a3=2,a1+a2+a3=6.

(1)求m.

(2)求{nan}的前n项和tn.

19.(14分)椭圆c: +=1(a>b>0)的离心率为,各个顶点围成的菱形面积为2

(1)求c的方程;

(2)过右顶点a的直线l交椭圆c于a,b两点.

①若|ab|=,求l的方程;

②点p(0,y0)在线段ab的垂直平分线上,且=3,求y0.

20.(14分)f(x)=ax2+3x﹣(a+3)lnx(a>﹣

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程,

(2)讨论f(x)的单调性,

(3)∀a∈[1,2],∀x∈[1,3],f(x)≥ta2恒成立,求实数t的取值范围.

 


2018年天津高职自主招生数学(文科)模拟试题参考答案

 

一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)

1.i是虚数单位,则=(  )

a.﹣+i b.i c. +i d. +i

【解答】解: =

故选:c.

 

2.方程ex=2﹣x的根位于(  )

a.(﹣1,0) b.(0,1) c.(1,2) d.(2,3)

【解答】解:设f(x)=ex+x﹣2,则f(0)=1﹣2=﹣1<0,

f(1)=e+1﹣2=e﹣1>0,

所以根据零点存在性定理,在区间(0,1)上函数f(x)存在一个零点,

即程ex=2﹣x的根位于(0,1).

故选b.

 

3.下列说法正确的是(  )

a.命题“∃x0∈r,2>1”的否定是“∀x∈r,2x≤1”

b.命题“若x=y,则x2=y2”的否命题是“若x=y,则x2≠y2”

c.p:∀x∈r,x2+1≥1,q:在△abc中,若sina=,则a=,则p∧q为真命题

d.若平面α⊥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则a⊥b

【解答】解:对于a,命题“∃x0∈r,2>1”的否定是“∀x∈r,2x≤1”,a正确;

对于b,命题“若x=y,则x2=y2”的否命题是“若x≠y,则x2≠y2”,则b不正确;

对于c,p:∀x∈r,x2+1≥1,成立,p真;q:在△abc中,若sina=,则a=,q假,

则p∧q为假命题,则c不正确;

对于d,若平面α⊥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则a,b平行、相交或异面,则d不正确.

故选:a.

 

4.阅读如图的框图,则输出的s=(  )

a.30 b.29 c.55 d.54

【解答】解:模拟程序的运行,可得

s=0,i=1

执行循环体,i=2,s=4

不满足条件i>4,执行循环体,i=3,s=4+9=13

不满足条件i>4,执行循环体,i=4,s=13+16=29

不满足条件i>4,执行循环体,i=5,s=29+25=54

此时,满足条件i>4,退出循环,输出s的值为54.

故选:d.

 

5.如图是函数y=asin(ωx+φ)(x∈r)在区间[﹣]上的图象,为了得到这个函数的图象.只需将y=cosx(x∈r)的图象上的所有点(  )

a.向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

b.向左平移个单位长度.再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍

c.把所有点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度

d.把所有点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度

【解答】解:根据函数y=asin(ωx+φ)(x∈r)在区间[﹣]上的图象可得a=1,

t==+=π,∴ω=2;

再根据五点法组图可得2×(﹣)+φ=0,∴φ=

∴函数的解析式为 y=sin(2x+),

可化为y=sin(2x++)=cos(2x+)=cos2(x+);

把y=cosx(x∈r)的图象向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,

或把所有点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度,

可得 y=sin(2x+)的图象.

故选:c.

 

6.若实数a,b,c满足2a=,log2b=,lnc=,则(  )

a.a<c<b b.a<b<c c.b<c<a d.c<b<a

【解答】解:∵2a=,∴log2=a,即log2a=﹣a,

作出y=log2x,y=﹣x,y=lnx和y=的函数图象,

如图所示:

由图象可知

∴0<a<1,c>b>1.

∴a<b<c.

故选:b.

 

7.抛物线c:x2=2py(p>0)的焦点为f,l为c的准线,p∈c.且|pf|=6,过p作l的垂线,垂足为m,若△fmp为正三角形,则p=(  )

a.2 b.3 c.4 d.5

【解答】解:设准线l与y轴相交于n,

由|pf|=6,△fmp为正三角形,则丨mf丨=6,∠pmf=

由pm⊥l,∠fmn=

∴丨fn丨=3,即p=丨fn丨=3,

∴p=3,

故选:b.

 

8.函数f(x)=,若f(x)=kx有三个不同的根,则实数k的取值范围是(  )

a.(0,)∪(2﹣2,] b.[0,)∪(2﹣2,] c.[0,]∪(2﹣2,] d.(0,]∪(2﹣2,]

【解答】解:作出f(x)与y=kx的函数图象如图所示:

若直线y=kx过(4,1),则k=

若直线y=kx过(2,3),则k=

若直线y=kx与y=x2﹣2x+3相切,设切点坐标为(x0,y0),

,解得x0=,y0=6﹣2,k=2﹣2,

∴当0≤k<或2<k≤时,直线y=kx与f(x)的图象有3个交点,

故选b.

 

二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)

9.某单位生产甲,乙,丙三种不同型号的产品,甲乙丙三种产品数量之比为3:4:5,现用分层抽样的方法抽出一个容量为96的样本,则乙种型号的产品数量为 32 .

【解答】解:根据分层抽样原理,当样本容量为96时,

抽取乙种型号的产品数量为96×=32.

故选:32.

 

10.设集合p={x∈n|x≤8},q={x∈r||x﹣1|≤2},则p∩q= {0,1,2,3} .

【解答】解:集合p={x∈n|x≤8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},

q={x∈r||x﹣1|≤2}={x∈r|﹣2≤x﹣1≤2}={x∈r|﹣1≤x≤3},

则p∩q={0,1,2,3}.[来源:]

故答案为:{0,1,2,3}.

 

11.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为  .

【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体是一个又正视图为底面的四棱锥

由于底面为边长为2的正方形,故s=2×2=4

而棱锥的高h=2

故v=×s×h=×4×2=

故答案为:

 

12.圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2,则实数a=  .

【解答】解:∵圆x2﹣2ax+y2=4﹣a2在y轴上的截距为2,

令x=0,得y=

∴2=2,解得a=

故答案为:

 

13.已知x>0,y>0,且+=2,则x+y的最小值是  .

【解答】解:∵x>0,y>0,且+=2,

则x+y=(3x+y)+(x+2y)= [(3x+y)+(2x+4y)] = 

=,当且仅当y=2x=时取等号.[来源:]

故答案为:

 

14.平行四边形abcd中,|ab|=2,|bc|=,∠dab=60°,= =,则= 2+ .

解答】解: =4, =2, =2×=

=+)=+

=

=(+)•()=++=++=2+

故答案为:2+.[来源:]

 

三、解答题(共6小题,满分80分)

15.(13分)在△abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,已知cosa=﹣,b=2,a=3.

(1)求sinb的值;

(2)求sin(2b﹣)的值.

【解答】解:(1)cosa=﹣<a<π,则sina==

由正弦定理=,则sinb=

∴sinb的值

(2)由0<b<,则cosb==

则sin2b=2sinbcosb=,cos2b=2cos2b﹣1=

sin(2b﹣)=sin2bcos﹣cos2bsin

=××

=

sin(2b﹣)的值

 

16.(13分)某公司计划在甲、乙两个仓储基地储存总量不超过300吨的一种紧缺原材料,总费用不超过9万元,此种原材料在甲、乙两个仓储基地的储存费用分别为500元/吨和200元/吨,假定甲、乙两个仓储基地储存的此种原材料每吨能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个仓储基地的储存量,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

【解答】解:设公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为x吨和y吨,总收益为z元,

由题意得

目标函数为z=3000x+2000y.  …(3分)

作出二元一次不等式组所表示的平面区域.如图所示…(6分)

(注:图象没画或不正确扣3分)

作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0.

平移直线l,从图中可知,当直线l过m点时,

目标函数取得最大值.  …(8分)

联立解得x=100,y=200.

∴点m的坐标为(100,200).

∴zmax=3000x+2000y=700000(元)=70(万元)…(11分)

答:该公司在甲、乙两个仓储基地储存的原材料分别为100吨和200吨,才能使公司的收益最大,最大收益是70万元.…(12分)

 

17.(13分)在棱长为2的正三棱柱abc﹣a1b1c1中,d,e分别是bc,bb1的中点.

(1)求证:a1b∥ac1d

(2)求证:ce⊥面ac1d

(3)求二面角c﹣ac1﹣d的正弦值.

【解答】解:(1)如图,连接a1c交ac1于点f,则f为ac1的中点,

∴df为△a1bc的中位线,故df∥a1b,

a1b⊄面ac1d,df⊂面ac1d,

∴a1b∥面ac1d;

(2)∵正三棱柱abc﹣a1b1c1中,d,e分别是bc,bb1的中点,

∴ad⊥面b1bcc1,∴ad⊥ce,

在正方形b1bcc1中,∵d,e分别是bc,bb1的中点,可得△ecb≌dc1c,

∴∠ecb=∠dc1c,

即∠cdc1+∠ecb=90°.∴ce⊥dc,

且ad∩cd=d,∴ce⊥面ac1d;

(3)如图由(2)得ce⊥面ac1d,设ce交dc1于h,连接hf,

则∠hfc就是二面角c﹣ac1﹣d的平面角,

在正方形bb1c1c中,由射影定理得cc12=c1d•c1h,⇒

,⇒ch=

在rt△chf中,sin∠hfc=

∴二面角c﹣ac1﹣d的正弦值为

 

18.(13分)在公比为m的等比数列{an}中,a3=2,a1+a2+a3=6.

(1)求m.

(2)求{nan}的前n项和tn.

【解答】解:(1)公比为m的等比数列{an}中,a3=2,a1+a2+a3=6.

=2, =6,

解得m=1,a1=2或m=﹣,a1=8.

∴m=1,或m=﹣

(2)由(1)可得:an=2或an=

①an=2时,nan=2n.

∴{nan}的前n项和tn==n2+n.

②an=.nan=8n×

∴{nan}的前n项和tn=8+…+

tn=8+…+(n﹣1)×+n×

=8+…+.[来源:学,科,网z,x,x,k]

∴tn=×

 

19.(14分)椭圆c: +=1(a>b>0)的离心率为,各个顶点围成的菱形面积为2

(1)求c的方程;

(2)过右顶点a的直线l交椭圆c于a,b两点.

①若|ab|=,求l的方程;

②点p(0,y0)在线段ab的垂直平分线上,且=3,求y0.

【解答】解:(1)由题意可知,解得a=,b=1,c=

∴椭圆c的方程为

(2)①a(,0),设直线l的方程为y=k(x﹣),

联立方程组,消元得:(1+3k2)x2﹣6k2x+9k2﹣3=0,

设b(x1,y1),∵x=是此方程的一个解,∴x1=

∴|ab|=•(﹣x1)==,解得k2=

∴k=±

∴直线l的方程为y=±(x﹣).

②由①知b(),设ab的中点为d,则d(),

∴kpd=,解得y0=

=(),=(),

=+=3,化简得9k4+8k2﹣1=9k4+6k2+1,解得k2=1,

∴k=±1,

∴y0=或y0=﹣

 

20.(14分)f(x)=ax2+3x﹣(a+3)lnx(a>﹣

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程,

(2)讨论f(x)的单调性,

(3)∀a∈[1,2],∀x∈[1,3],f(x)≥ta2恒成立,求实数t的取值范围.

【解答】解:(1)f(x)=x2+3x﹣4lnx的导数为f′(x)=x+3﹣

可得曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1+3﹣4=0,切点为(1,),

故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y﹣=0(x﹣1),

即有y=

(2)f(x)=ax2+3x﹣(a+3)lnx(a>﹣)的导数为:

f′(x)=ax+3﹣=

当a=0时,f′(x)=,当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;

当x>1时,f′(x)>0,f(x)递增.

当a>0时,﹣<1,可得当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;

当x>1时,f′(x)>0,f(x)递增.

当﹣<a<0时,﹣>1,可得当0<x<1或x>﹣时,f′(x)<0,f(x)递减;

当1<x<﹣,时,f′(x)>0,f(x)递增.

综上可得,当a≥0时,f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增;

当﹣<a<0时,f(x)在(0,1),(﹣,+∞)递减;在(1,﹣)递增.

(3)由题意可知,对任意a∈[1,2]及x∈[1,3]时,恒有f(x)≥ta2恒成立等价于

f(x)min≥ta2,

由(2)可得当a≥0时,f(x)在x∈[1,3]上递增,f(x)的最小值为f(1)=a+3,

任意a∈[1,2]时, a+3≥ta2恒成立,

∴t≤+,a∈[1,2]时恒成立,

令g(a)=+,由g′(a)=﹣<0,

可得g(a)在[1,2]递减,即有g(a)的最小值为g(2)=1,

则实数t的取值范围为t≤1.

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