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2018年天津高职自主招生数学(理科)模拟试题【含答案】

来源:互联网

时间:2018-08-03

阅读数:850

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2018年天津高职自主招生数学(理科)模拟试题【含答案】

 

一、选择题

1.已知集合a={x|y=},b={x|>0},则a∩b=(  )

a.{x|﹣1<x<1} b.{x|x>1} c.{x|﹣1<x≤1} d.{x|x≥1}

2.设复数z满足iz=|2+i|+2i(i是虚数单位),则|z|=(  )

a.3 b.  c.i  d.i

3.设x,y满足约束条件,则下列不等式恒成立的是(  )

a.x≥3 b.y≥4 c.x+2y﹣8≥0 d.2x﹣y+1≥0

4.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(  )

a. b. c. d.

5.下列说法正确的是(  )

a.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”

b.∃x0∈(﹣∞,0),2成立

c.“若tanα≠1,则”是真命题

d.{an}为等比数列,则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既不充分也不必要条件

6.已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为f,准线l:x=﹣,点m在抛物线c上,点a在准线l上,若ma⊥l,且直线af的斜率kaf=﹣,则△afm的面积为(  )

a.3 b.6 c.9 d.12

7.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx﹣ax(a),当x∈(﹣2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=(  )

a.﹣1 b.1 c. d.e2

8.已知定义在r上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2﹣x)=0;②f(x﹣2)=f(﹣x);③当x∈[﹣1,1]时,f(x)=;则函数y=f(x)﹣()|x|在区间[﹣3,3]上的零点个数为(  )

a.5 b.6 c.7 d.8

 

二、填空题

9.甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是  .

10.执行如图所示的程序框图,若输入的n是4,则输出p的值是  .

11.设p是双曲线上一点,f1,f2分别是双曲线左右两个焦点,若|pf1|=9,则|pf2|等于  .

12.直线y=kx+3与圆(x﹣4)2+(y﹣3)2=4相交于m,n两点,|mn|,则k的取值范围是  .

13.在直角三角形abc中,∠acb=90°,ac=bc=2,点p是斜边ab上的一个三等分点,则=  .

14.已知x,y均为正实数,且x+y=16,则的最大值为  .

 

三、解答题

15.已知函数f(x)=2sin2x+2sinx•sin(x+

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移2个单位,得函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的取值范围.

16.在△abc,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且cos2a=3cos(b+c)+1

(1)求角a的大小;

(2)若a=3,sinc=2sinb,求b,c的值.

17.如图,在三棱柱abc﹣a1b1c1中,aa1⊥面abc,ab=bc=2bb1,∠abc=90°,d为bc的中点.

(1)求证:a1b∥平面adc1;

(2)求二面角c﹣ad﹣c1的余弦值;

(3)若e为a1b1的中点,求ae与dc1所成的角.

18.已知数列{an}的前n项和sn满足:sn=2(an﹣1),数列{bn}满足:对任意n∈n*有a1b1+a2b2+…+anbn=(n﹣1)•2n+1+2.

(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;

(2)记cn=,数列{cn}的前n项和为tn,证明:当n≥6时,n|tn﹣2|<1.

19.已知椭圆c:+=1(a>b>0)过点p(﹣1,﹣1),c为椭圆的半焦距,且c=b.过点p作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆c分别交于另两点m,n.

(1)求椭圆c的方程;

(2)若直线l1的斜率为﹣1,求△pmn的面积;

(3)若线段mn的中点在x轴上,求直线mn的方程.

20.设函数f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈r)

(1)当a=2时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2)

①求实数a的范围;

②证明:

 


2018年天津高职自主招生数学(理科)模拟试题参考答案

 

一、选择题

1-5:aacdc  6-8:cba

二、填空题

9.乙. 

10.24. 

11.17. 

12.[﹣]. 

13.4

14.1.

 

三、解答题

15.解:(1)∵函数f(x)=2sin2x+2sinx•sin(x+

=2•+sin2x=2sin(2x﹣)+1,

故f(x)的最小正周期为=π.

(2)把函数y=f(x)的图象向左平移个单位,

再向上平移2个单位,可得函数g(x)=2sin(2x+)+2+1=2sin(2x+)+3的图象,

在区间[0,]上,2x+∈[],

故当2x+=时,f(x)取得最小值为2•(﹣)+3=3﹣

当2x+=时,f(x)取得最大值为2+3=5.

 

16.解:(1)由cos2a=3cos(b+c)+1得,

2cos2a+3cosa﹣2=0,

即(2cosa﹣1)(cosa+2)=0,

解得cosa=或cosa=﹣2(舍去),

因为a为三角形的内角,所以a=

(2)由(1)知cosa=

又sinc=2sinb,∴c=2b;

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosa,

∴9=b2+4b2﹣2b•2b•

解得b=

∴c=2

 

17.(ⅰ)证明:可设ab=bc=2bb1=2,以b为坐标原点,ba所在直线为x轴,bc所在直线为y轴,bb1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

a1(2,0,1),b(0,0,0),a(2,0,0),

d(0,1,0),c1(0,2,1),

则有=(﹣2,0,﹣1),=(﹣2,1,0),=(﹣2,2,1),

设平面adc1的法向量为=(x1,y1,z1),

,取x1=1,得=(1,2,﹣2),

=﹣2+0+2=0,

则a1b∥平面adc1;

(ⅱ)解:由(ⅰ)可得=(﹣2,1,0),=(﹣2,2,1),=(0,﹣1,0),

由c1c⊥平面abc,可知平面abc的法向量为=(0,0,1),

由(ⅰ)可得平面adc1的法向量为=(1,2,﹣2),

由cos<>==

故二面角c﹣ad﹣c1的余弦值为

(ⅲ)解:e为a1b1的中点,

则e(1,0,1),=(﹣1,0,1),=(0,1,1),

cos<>==

由0≤<>≤π,可得<>=

则ae与dc1所成的角为

 

18.解:(1)数列{an}的前n项和sn满足:sn=2(an﹣1)①,

则:sn﹣1=2(an﹣1﹣1)②,

所以:①﹣②得:an=2an﹣1,

即:

当n=1时,

解得:a1=2.

故数列{an}的通项公式为:(首项符合).

故通项公式为:

数列{bn}满足:对任意n∈n*有a1b1+a2b2+…+anbn=(n﹣1)•2n+1+2③.

则:a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=(n﹣2•2n+2④.

③﹣④得:

故:bn=n.

证明:(2)根据(1)的通项公式,

则:=

⑤.

=⑥.

⑤﹣⑥得:=

解得:

故:|tn﹣2|==

所以:n|tn﹣2|=

当n≥6时,

故:n|tn﹣2|<1成立.

 

19.解:(1)因为椭圆c:+=1(a>b>0)过点p(﹣1,﹣1),

c为椭圆的半焦距,且c=b,

所以,且c2=2b2,

所以a2=3b2,解得b2=,a2=4.

所以椭圆方程为:+=1.…

(2)设l1方程为y+1=k(x+1),

联立

消去y得(1+3k2)x2+6k(k﹣1)x+3(k﹣1)2﹣4=0.

因为p为(﹣1,﹣1),解得m().…(5分)

当k≠0时,用﹣代替k,得n(). …(7分)

将k=﹣1代入,得m(﹣2,0),n(1,1).

因为p(﹣1,﹣1),所以pm=,pn=2

所以△pmn的面积为××2=2.             …(9分)

(3)设m(x1,y1),n(x2,y2),

两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

因为线段mn的中点在x轴上,

所以y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1﹣x2)=0.…(12分)

若x1+x2=0,则n(﹣x1,﹣y1).

因为pm⊥pn,所以=0,得x12+y12=2.

又因为x12+3y12=4,所以解得x1=±1,

所以m(﹣1,1),n(1,﹣1)或m(1,﹣1),n(﹣1,1).

所以直线mn的方程为y=﹣x.…(14分)

若x1﹣x2=0,则n(x1,﹣y1),

因为pm⊥pn,所以=0,得y12=(x1+1)2+1.

又因为x12+3y12=4,所以解得x1=﹣或﹣1,

经检验:x=﹣满足条件,x=﹣1不满足条件.

综上,直线mn的方程为x+y=0或x=﹣.…(16分)

 

20.解:(1)当a=2时,函数f(x)=x2﹣2x+2lnx(x>0),

f′(x)=2x﹣2+=

可得f(1)=﹣1,f′(1)=2

∴在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣(﹣1)=2(x﹣1),即2x﹣y﹣3=0.

(2),(x>0),

①∵函数f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2).

∴2x2﹣2x+a=0有两个不等正实根,

,∴

∴实数a的范围:(0,).

②∵a=2x1x2=2x2(1﹣x2),1﹣x1=x2,

===,().

令h(t)=t+2(1﹣t)ln(1﹣t)﹣,(),

h,∴h(t)在()递增,

.∴


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